霍奇猜想

简介

霍奇猜想(HodgeConjecture)

在非奇异复射影代数簇上,任一霍奇类是代数闭链类的有理线性组合。

背景

二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。

基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导致一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的（有理线性）组合。

问题

霍奇猜想是代数几何的一个重大的悬而未决的问题。它是关于非奇异复代数簇的代数拓扑和它由定义子簇的多项式方程所表述的几何的关联的猜想。它在霍奇的著述的一个结果中出现，他在1930至1940年间通过包含额外的结构丰富了德拉姆上同调的表述，这种结构出现于代数簇的情况（但不仅限于这种情况）。

现状

黎曼假设、庞加莱猜想、霍奇猜想、贝赫和斯维讷通－戴尔猜想、纳维叶―斯托克斯方程、杨―米尔理论、P问题对NP问题被称为21世纪七大数学难题。2000年5月，美国的克莱数学促进会为每道题悬赏百万美元求解。目前，这一难题仍没有被破解。

已知的情形

对于(1,1)类的霍奇猜想已经在霍奇本人提出本猜想前的1924年由Lefschetz证明。换句话说，霍奇猜想对于H^2成立。实际上，这是霍奇提出其猜想的动机之一。

除此以外，还成立以下定理：如果霍奇猜想对于度数p的霍奇类成立，其中p<n，n是上述射影代数簇的维数，那么对于度数为2n-p的霍奇类，霍奇猜想也成立。

霍奇的想法

苏格兰数学家威廉·霍奇：怎么能知道哪些类的同源性在任何给定歧管，相当于一个代数周期？一个伟大的想法。只是他不能证明。我们有一个小的平滑的“空间”（在每个邻域类似于欧几里德空间，但在更大的规模上，“空间”是不同的），这是由一群方程描述，使得这个空间具有均匀的维度。然后我们获取基本的“拓扑”信息，并将其分解成更小的几何部分（由数字对标记）。几何部分内的理性东西被称为“Hodge循环”。每个较小的几何部分是称为代数循环的几何部分的组合。基本上我们有一个“桩”。我们仔细看看它，看看它是由许多“切碎的木材”组成。“切碎的木材”里面有“twigs”（霍奇循环）。霍奇猜想断言，对于成堆的切碎的木材，树枝实际上是被称为原子（代数循环）的几何部分的组合。

这个叫霍奇猜想的东东，用通俗的话说，就是“再好再复杂的一座宫殿，都可以由一堆积木垒成”。用文人的话说就是:任何一个形状的几何图形，不管它有多复杂(只要你能想得出来)，它都可以用一堆简单的几何图形拼成。在实际工作中，我们无法在二维平面的纸上绘画出来一种复杂的多维图形，霍奇猜想就是把复杂的拓扑图形分拆成为一个个构件，我们只要按照规则安装就可以理解设计者的思想。霍奇猜想提出已经快80年了，至今有了第一个例子。