BSD猜想

猜想陈述

给定一个整体域上的阿贝尔簇，猜想它的莫代尔群的秩等于它的L函数在1处的零点阶数，且它的L函数在1处的泰勒展开的首项系数与莫代尔群的有限部分大小、自由部分体积、所有素位的周期以及沙群有精确的等式关系。

前半部分通常称为弱BSD猜想。BSD猜想是分圆域的类数公式的推广。格罗斯提出了一个细化的BSD猜想。布洛克和加藤提出了更一般的对于motif的Bloch-Kato猜想。

已知结果

BSD猜想的陈述依赖于莫代尔定理：整体域上的阿贝尔簇的有理点形成一个有限生成交换群。精确的部分依赖于沙群的有限性猜想。

对于解析秩为0的情形，Coates，Wiles，Kolyvagin，Rubin，Skinner，Urban等人证明了弱BSD猜想，并且精确的BSD猜想在2以外均成立。

对于解析秩为1的情形，Gross，Zagier等人证明了弱BSD猜想，并且精确的BSD猜想在2和导子以外均成立。

猜想的推论

由BSD猜想可以推出奇偶性猜想、西尔维斯特等很多猜想。其中著名的是与同余数问题的关系，从BSD猜想可以推出模8余5，6，7的无平方因子的正整数一定可以成为某个有理边长直角三角形的面积。